E’ vero che due rette parallele si incontrano all’infinito?

Quadro di Euclide con compasso

Euclide fu autore di formule geometriche ancora discusse al giorno d’oggi. Quello che sappiamo sulle rette lo dobbiamo in buona parte a lui (1)

Quando andavamo a scuola, sin dalle elementari, abbiamo imparato tre concetti fondamentali che da sempre diamo per assodati:
– la retta è un insieme infinito di punti
– per due punti passerà sempre una sola retta
– due rette che scorrono parallele tra loro (cioè che mantengono la stessa distanza tra loro) non potranno mai incontrarsi

Crescendo, come capita spesso, alcuni assiomi vanno a cozzare con la ragione e si formano quelli che apparentemente sembrano “paradossi”. Nel caso della retta parallela, esiste questa eccezione che porterebbe a riscrivere la “legge” in questa maniera:
« Due rette che scorrono parallele tra loro non potranno mai incontrarsi se non all’infinito »

Significa che due rette parallele hanno la possibilità di incontrarsi, ma solo se si attribuisce loro dei valori infiniti.
Com’è possibile che due linee poste sempre alla stessa distanza finiscano prima o poi per incontrarsi? In realtà, la questione è un po’ diversa e questo genere di discorsi lo possiamo fare solo in una branca particolare della geometria.

La spiegazione tramite formule geometriche

Assi cartesiani su foglio a quadretti e linea retta blu

Un esempio di assi cartesiani (ascisse in orizzontale e ordinate in verticale). La linea blu è una retta che non passa per l’origine (2)

Entrando nel campo della matematica, se avete un minimo di conoscenza della geometria, la spiegazione risulta immediata. E’ sufficiente affrontare la cosa dalle formule di base dei piani cartesiani.

Se poniamo un sistema di coordinate con assi (x,y) , l’equazione di una retta è data da:
y=ax+b
dove “a” indica la pendenza della retta rispetto alle ascisse e “b” il punto di intersezione con le ordinate.

Due rette parallele hanno la stessa pendenza, quindi il valore di “a” sarà identico. Definiamo l’equazione delle due rette in questo modo:
y1 = ax + b1
y2 = ax + b2

Da qui si può notare facilmente che le due rette si incontrano nel punto
ax + b1 = ax + b2
b1 = b2

Ovviamente questo non è possibile, perché se b1 e b2 hanno lo stesso valore, significa che le due rette sono in realtà la stessa retta.
Ecco perché si afferma che “due rette paralelle non si incontrano mai”.

Questo però perde di validità quando si considerano i valori di “x” e “y” come non reali: in questo caso a “x” dobbiamo impostare un valore che tende a infinito. Impostando a “x” tale valore, i valori di “b1” e “b2” perdono importanza. Di conseguenza risulta che:
y1 = infinito
y2 = infinito

Giunti a questo punto, la soluzione è chiara: le due rette si incontrano solo e soltanto per valori di “x” e di “y” infiniti.


Geometria Euclidea e Non Euclidea

Tre rette formano un triangolo

La geometria comune, di cui facciamo uso nella pratica, è detta Euclidea. Ma la teoria prevede un tipo di geometria Non Euclidea, in cui uno o più postulati della prima non sono validi (3)

La parte teorica è un po’ più complicata da capire di quella pratica. Bisogna innanzitutto comprendere la distinzione tra geometria euclidea e geometria non euclidea.

Quando ci confrontiamo con i valori che conosciamo nell’uso comune, parliamo di una geometria di tipo “Euclidea“. E’ questo tipo di geometria che ci permette di formulare gli “assiomi” visti sopra (es: per due punti passa una sola retta).
La geometria Euclidea si basa su 5 postulati. I primi quattro si possono verificare immediatamente con riga e compasso. Quello che, invece, lascia una certa dose di perplessità è il quinto postulato.
Ridotto all’osso spiega che: « se prendiamo una retta, per un punto può passare una sola retta parallela alla prima ».
Spiegato in termini un po’ più estesi dice:
1. prendiamo due linee rette
2. prendiamo una terza linea retta che incontri entrambe
3. se gli angoli interni che si formano tra la terza linea e ciascuna delle due precedenti è inferiore a 90° (quindi è leggermente “inclinato”), significa che le prime due rette sono destinate a incontrarsi

Sembra una proposizione semplice, ma in realtà i tentativi di dimostrarlo in modo matematico sono sempre falliti. Ecco perché hanno cercato di dimostrare questo postulato andando per assurdo, cioè dimostrando che esempi contrari a questa teoria non possono funzionare.
Da lì è nata un tipo di geometria particolare, la “Non Euclidea“, che prende in esami casi “teorici” in cui almeno uno dei postulati di Euclide non è valido.

Senza entrare troppo nel tecnico, la geometria non-euclidea permette l’esistenza di rette ellittiche, che sono cioè “incurvate” verso l’interno. E’ chiaro che nella pratica qui non esistono rette parallele, perché essendo curve finiscono prima o poi per incontrarsi.

L’idea cozza terribilmente con la definizione di “rette parallele”, ma in matematica abbiamo anche casi simili, dovuti al fatto che la mente limitata dell’uomo deve confrontarsi con concetti come “infinito”. E che ci crediate o no, è alla base di alcune tra le teorie più importanti, come la famosa teoria della relatività postulata da Einstein.

Copyright immagini

(1) http://www.lorenzi.info/
(2) http://www.coianiz.org/Materialididattici/matematica/aritmeticaealgebra/funzioni/tabid/134/Default.aspx
(3) http://it.wikipedia.org/wiki/V_postulato_di_Euclide

Ultimi Commenti
  1. Riccardo
    • Tino
      • Riccardo
    • Claudio Toccafondi
  2. sabrina

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *