Trucchi per calcolare a mente il risultato delle moltiplicazioni

Formule matematiche

Esistono metodi per calcolare il risultato di moltiplicazioni (quasi) a mente con numeri a due o più cifre. In alcuni casi basta imparare a memoria certi valori di base [1]

Gli smartphone ci hanno semplificato la vita, senza dubbio. Qualsiasi sia il calcolo da eseguire, ci basta estrarre il telefonino, far partire la sua calcolatrice e abbiamo subito la risposta.

Proprio per il fatto che è così semplice avere a disposizione uno strumento di calcolo, è normale che la nostra mente si dimentichi alcune procedure di base. Se non lavorate in settori dove sono richiesti di continuo dei calcoli da eseguire, per esempio in campo economico, la mente tenderà a dimenticare persino le operazioni più elementari.
È una cosa naturale: il cervello cerca di mettere da parte quello che non serve per concentrarsi su elementi più utili (ed ecco perché è utile tenerlo in allenamento continuo).

Ci sono però dei “trucchetti” che possiamo adottare per semplificarci i calcoli al volo, senza bisogno di estrarre la calcolatrice e senza formule complicate. Il risultato è assicurato e potrà anche farvi fare bella figura con gli amici.
Ve ne propongo alcuni tra i più diffusi.

Moltiplicare per 5 oppure 25 oppure 125

Esempi: moltiplicare per 5

18*5 = (18*10)/2 = 180/2 = 90

443*5 = (443*10)/2 = 4430/2 = 2215

5096*5 = (5096*10)/2 = 50960/2 = 25480

 

Esempi: moltiplicare per 25

24*25 = (24*100)/4 = 2400/4 = 600

789*25 = (789*100)/4 = 78900/4 = 19725

1002*25 = (1002*100)/4 = 100200/4 = 25050

 

Esempi: moltiplicare per 125

36*125 = (36*1000)/8 = 36000/8 = 4500

173*125 = (173*1000)/8 = 173000/8 = 21625

8976*125 = (8976*1000)/8 = 8976000/8 = 1122000

 

Spiegazione

Moltiplicare per 5 significa moltiplicare per 10 e poi dividere per 2 (perché 10/2=5).
Moltiplicare per 25 significa moltiplicare per 100 e poi dividere per 4 (infatti 100/4=25).
Moltiplicare per 125 significa moltiplicare per 1000 e poi dividere per 8 (infatti 1000/8=125).

Dividere per 2 o per i suoi multipli (4, 8) è molto più semplice e veloce che moltiplicare per 5 o 25 o 125.
Teniamo poi presente che se stiamo moltiplicando per 25 o 125, possiamo ridurre ulteriormente il risultato: basta dimezzare il valore sia a destra che a sinistra. Prendiamo l’ultimo degli esempi visti sopra per capire meglio cosa intendo:
8976*125 = (8976*1000)/8 = 8976000/8
la divisione per 8 è complicata da eseguire, quindi meglio semplificarla dividendo per 2 e poi ancora per 2:
8976*125 = (8976*1000)/8 = 8976000/8 = 4488000/4 = 2244000/2 = 1122000
[notare che la divisione per 2 deve essere fatta in entrambi i membri]

Scritto con una formula generale:
N*5 = N*10/2
N*25 = N*100/4 = (N/2)*100/2
N*125 = N*1000/8 = (N/2/2)*1000/2

Moltiplicare per 9 oppure 99 oppure 999

Esempi: moltiplicare per 9

8*9 = 8*10-8 = 80-8 = 72

52*9 = 52*10-52 =520-52 = 468

614*9 = 614*10-614 = 6140-614 = 5526

 

Esempi: moltiplicare per 99

6*99 = 6*100-6 = 600-6 = 594

40*99 = 40*100-40 = 4000-40 = 3960

121*99 = 121*100-121 = 12100-121 = 11979

 

Esempi: moltiplicare per 999

5*999 = 5*1000-5 = 5000-5 = 4995

34*999 = 34*1000-34 = 34000-34 = 33966

112*999 = 112*1000-112 = 112000-112 = 111888

 

Spiegazione

Moltiplicare un numero per 9 significa moltiplicare per 10-1. Questo significa che per ogni “9” che prendiamo come moltiplicatore, dobbiamo togliere 1.
Lo stesso discorso possiamo fare quando moltiplichiamo per 99 (cioè moltiplichiamo per 100-1) e 999 (cioè moltiplichiamo per 1000-1).

In altre parole:
9*N = N*10–N
99*N = N*100-N
999*N = N*1000-N

Moltiplicare per 11

Esempi

436*11 = 4(4+3)(6+3)6 = 4796

6452*11 = 6(6+4)(4+5)(5+2)2 = 6(6+4)972 = 70972
[notare nell’ultimo passaggio: 6+4=10, quindi scrivo lo 0 e riporto di 1, che va ad aggiungersi al 6 sulla sinistra]

7788*11 = 7(7+7)(7+8)(8+8)8 = 7(7+7)(7+8+1)68 = 7(7+7+1)668 = 85668

 

Spiegazione

Capire come moltiplicare per 11 richiede un attimo di elasticità mentale. Infatti il risultato andrebbe trascritto da destra verso sinistra, perché ci possono essere dei numeri da riportare. Vediamo il procedimento generale:
– la cifra sulla destra resterà sempre identica a quella del numero di partenza.
– poi, procedendo verso sinistra, dobbiamo sommare ogni numero con quello che lo segue.
– infine, la prima cifra a sinistra resta identica a quella del numero di partenza.

Come si vede dagli esempi sopra, c’è un’accortezza da tenere presente: quando si sommano delle cifre che danno come risultato almeno 10, si dovrà trascrivere le unità, mentre si riporterà “1” da aggiungere alla successiva somma che dovremo fare a sinistra.

Radice quadrata di un numero che finisce per 5

Esempi

45*45 = (4*5)25 = 2025

135*135 = (13*14)25 = 18225

1225*1225 = (122*123)25 = 1500625

 

Spiegazione

Il calcolo di per sé è intuitivo, anche se la prima moltiplicazione può essere complicata da fare a mente quando i numeri crescono. A ogni modo, la radice quadrata di un numero che finisce per 5 dà sempre come risultato un numero che termina per 25. Quindi il procedimento è questo:
– togliere l’unità (5) dal numero e moltiplicare quello che resta per sé stesso ma aumentato di una unità. Prendendo uno degli esempi sopra, se dobbiamo fare la radice quadrata di 45, teniamo solo il 4 e lo moltiplichiamo per il suo successivo (5).
– in fondo al risultato riportare 25.

Radice quadrata di un numero a due cifre

Esempi

58*58 = (5*5)(8*8)+(5*8*2)0 = 2564+(80)0 = 2564+800 = 3364

43*43 = (4*4)(3*3)+(4*3*2)0 = 1609+(24)0 = 1609+240 = 1849
[notare l’aggiunta dello 0 davanti al 9]

 

Spiegazione

Calcolare la radice quadrata di un numero non è semplice, ma quando il numero è a due cifre è possibile farlo con un preciso procedimento matematico.

Il procedimento è il seguente:
– prendere le due singole cifre e calcolare la radice quadrata di entrambe; i risultati vanno affiancati a formare un unico numero. Da notare che il risultato di ogni singola radice quadrata deve essere di due cifre: se è solo di una cifra, aggiungerli uno “0” davanti (es: 3*3=9, poiché è di una sola cifra va scritto “09”).
– moltiplicare le due singole cifre tra loro e quindi moltiplicare per 2. Al risultato aggiungere uno 0 a destra come unità.
– sommare i risultati ottenuti dai due punti precedenti.

Moltiplicare due numeri, di cui almeno uno è pari

Esempi

22*14 = (22*2)*(14/2) = 44*7 = 308

43*18 = (43*2)*(18/2) = 86*9 = 774

 

Spiegazione

Questo procedimento è più un “trucco” per semplificarvi il calcolo che una vera spiegazione. Se almeno uno dei due numeri è pari, potete dividere il numero pari per 2 e moltiplicare l’altro sempre per 2.

Un consiglio: il trucco serve per ridurre il più possibile uno dei numeri, in modo che la moltiplicazione risulti più semplice; per cui se entrambi i numeri sono pari, divide per 2 il numero più basso.

Moltiplicare due numeri che differiscono tra loro di 2 oppure 4 oppure 6

Esempi: differenza di 2 unità tra i due numeri

11*13 = (12*12)-1 = 144-1 = 143

145*147 = (146*146)-1 = 21316-1 = 21315

 

Esempi: differenza di 4 unità tra i due numeri

11*15 = (13*13)-4 = 169-4 = 165

145*149 = (147*147)-4 = 21609-4 = 21605

 

Esempi: differenza di 6 unità tra i due numeri

11*17 = (14*14)-9 = 196-9 = 187

145*151 = (148*148)-9 = 21904-9 = 21895

 

Spiegazione

In questo caso il calcolo finale è un po’ complicato da eseguire, a meno che non impariate a memoria la radice quadrata dei numeri; per i numeri a due cifre è fattibile, ma quando iniziamo a moltiplicare numeri “alti” diventa complesso.

In tutti e tre i casi, dobbiamo fare la radice quadrata del numero che si trova in mezzo a quelli da moltiplicare. Dopodiché:
– se i due numeri da moltiplicare differiscono di 2, bisogna togliere 1 al risultato.
– se differiscono di 4, bisogna togliere 4.
– se differiscono di 6, bisogna togliere 9.

Fonti esterne

Impress your friends with mental math tricks (inglese)

Copyright immagini

[1] http://www.coindesk.com/math-behind-bitcoin/

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