Ordine o caos? La straordinaria “proporzione divina” nel phi

Uomo Vitruviano di Leonardo da Vinci

Se dividiamo un numero della sequenza di Fibonacci con il suo precedente, otteniamo la “proporzione divina”, una misura presente in natura, nell’uomo e persino nelle forme d’arte più piacevoli [@01]

C’è diversa gente disposta a credere che il mondo non segua la legge del caos, ma un ordine prestabilito: tutto è governato da regole precise che non si possono ignorare. Il pianeta e quello che gli appartiene si muove infatti su un equilibrio così fragile che basterebbe un elemento fuori posto per far crollare questo castello di carta (la teoria del caos spiega molto bene come un evento possa portare a effetti imprevedibili).
Altri sono convinti del contrario: ci sono delle regole di base, però possono essere modificate o a volte ignorate senza provocare grandi conseguenze.

Quale sia la vera risposta (e non è detto che non siano valide entrambe), vi pongo una domanda che vi farà senz’altro riflettere: cosa succederebbe se in natura esistesse una legge così perfetta da essere alla base di quello che l’occhio umano identifica come “bello”, tanto da meritarsi il nome di proporzione divina? Si potrebbe parlare ancora di caos?

La successione di Fibonacci

Semi di girasole

La serie di Fibonacci rappresenta il modo più efficiente, per un fiore, per disporre i suoi semi. La disposizione forma spirali che contengono, ognuna, un numero di semi presente nella sequenza di Fibonacci [@02]

Facciamo un passo indietro.

Prima di entrare nell’argomento, dobbiamo fare una panoramica su una sequenza matematica tanto semplice quanto sconvolgente: la successione di Fibonacci. Probabilmente ne avrete sentito parlare: lo scrittore Dan Brown l’ha riportata alla ribalta di recente nel suo Codice Da Vinci, best seller che ha raggiunto gli schermi televisivi nel 2006.
Si tratta di una sequenza di numeri in cui, a parte i primi due, ognuno è la somma dei due che lo precedono. Per capirci, i primi venti numeri della serie sono:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181

Molto semplice, come si può vedere. Lo scopo di Leonardo Fibonacci, quando l’ha creata, era studiare la crescita di una popolazione di conigli, immaginando che una coppia rimanga fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al secondo mese. A quel tempo non immaginava di avere introdotto un concetto che ancora oggi fa discutere.

Perché è tanto importante?
Tralasciando le interessanti proprietà matematiche, la successione si trova in natura sotto diverse forme. Per farvi qualche esempio:
– gran parte dei fiori (come i gigli, i ranuncoli, le calendule e le margherite) hanno un numero totale di fiori che è presente nella successione: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 o 89.
– le infiorescenze dei girasoli segueno due insiemi di spirali che girano in senso orario e antiorario seguendo la successione. Anche le pigne e i pistilli di altri fiori hanno spesso delle spirali simili, in genere in numero di 34 se sono orientate in senso orario e 55 se in senso antiorario.
– se prendiamo la foglia di un ramo e conteggiamo le foglie che sono perfettamente allineate con questa si ottiene in genere un numero di Fibonacci. Lo stesso si dica contando i giri (in senso orario o antiorario) da seguire per raggiungere la foglia allineata.
– vari tipi di conchiglie, come quella del Nautilus, hanno forme a spirale che ricollegano alla successione.
il rapporto tra le falangi di un uomo adulto è un numero di Fibonacci.

La proporzione divina: perfezione nella perfezione

Spirale sequenza di Fibonacci

La spirale che si forma facendo il rapporto tra un numero e il precedente nella serie di Fibonacci [@03]

Il fatto che la successione sia così inserita in natura potrebbe far pensare che, in effetti, ci sia un ordine prestabilito. Un ordine perfetto. E qui arriviamo alla proporzione divina, la “perfezione nella perfezione”.
Se facciamo il rapporto tra due numeri vicini nella successione di Fibonacci otteniamo un valore che si avvicina a 1,618 (più prendiamo numeri alti, più il rapporto si approssima a questo numero). Per esempio:
55/34 = 1,617647
89/55 = 1,618182
…..
610/377 = 1,618037
987/610 = 1,618033

Il numero in questione in gergo matematico viene detto phi, ma è conosciuto anche con altri nomi: rapporto aureo, sezione aurea, numero aureo, proporzione divina. Le sue cifre decimali sono infinite. Nel 1966 M. Berg è riuscito a calcolarlo fino alla sua diecimilionesima cifra, ma i più curiosi possono dare un’occhiata a questo link per le prime 10mila cifre, elaborate dal Dr Ron Knott il 12 dicembre 2005.
Il phi era conosciuto sin dai tempi di Pitagora, anche se la sua relazione con la serie di Fibonacci si scoprì solo nel 1611 grazie a Keplero.

Esiste anche una formula più “tecnica” per calcolare questo numero con precisione, che riporto per complettezza: si prende un segmento AB e lo si divide in un punto C tale che AB/AC=AC/CB. Il valore si può esprimere con la formula:
phi = (1 + radice di 5) / 2

Ma perché viene chiamato con il nome eccentrico di “proporzione divina”?
La sua bellezza per i matematici è straordinaria, perché è il numero più difficile da approssimare facendo un rapporto tra due interi (il 5 sotto radice crea un risultato che viene detto irrazionale). Inoltre, è sempre presente all’interno di solidi e poligoni regolari. Niente di strano che gli scopritori l’abbiano ritenuto uno dei mattoni messi da Dio per tenere in piedi la sua creazione.

Il numero aureo? È nella natura perfetta

Stradivari Bailloti 1732

Il numero aureo è presente non soltanto nei fiori e nell’uomo: c’è chi pensa che rientri anche tra le forme d’arte e musicali più rinomate [@04]

Il phi non è solo un numero “bello da vedere”.
Come per la serie di Fibonacci, è presente sotto diverse forme in natura, nella musica e nell’architettura. Per esempio:
– si trova nella disposizione delle foglie.
– se misurate la vostra altezza e la dividete per la distanza del vostro ombelico da terra, ottenete un numero vicino a phi.
– se dividete la distanza tra la spalla e la punta delle dita con la distanza tra il gomito e la punta delle dita ottenete di nuovo phi.
– se dividete la distanza tra il vostro fianco e il suolo con la distanza tra il vostro ginocchio e il suolo ottenere ancora phi.
– alcuni studi dimostrano che le femmine di un alveare di api sono 1,618 volte i maschi.

Per correttezza c’è da dire che il dibattito sull’effettiva validità del phi in natura è ancora in corso. Molte misurazioni sono approssimative, non precise. In architettuta e in pittura il rapporto ricorre con ogni probabilità per volere dell’autore e non per casualità. Per esempio alcuni studiosi hanno voluto vederlo nelle opere di Leonardo Da Vinci, in particolare nalla Gioconda, ma i critici si indignano sui punti di riferimento usati, che sembrano essere stati presi apposta per dimostrare l’esistenza di phi nelle opere.

Una teoria particolare cerca di dimostrare come phi sia l’oggetto di base che compone quegli elementi che l’uomo giudica “belli”: per esempio certi intervalli musicali. Stradivari costruì il suo violino tenendo gli occhielli secondo il rapporto aureo. Nell’800 Gustav Theodor Fechner invitò alcune persone a disegnare il rettangolo che ritenevano più piacevole e concluse che c’era una preferenza per quei rettangoli che contenevano il phi. Questo avrebbe dimostrato che la psicologia umana tendeva a preferire la proporzione divina. Il suo esperimento fu però largamente criticato, per come fu eseguito e per i vizi naturali che un simile test può portare (per esempio il fatto che i rettangoli venivano mostrati a coppie invece che tutti insieme). Altri esperimenti futuri più dettagliati sembrarono annullare il suo risultato.

Che sia dimostrata o meno la bellezza della proporzione divina, la sua esistenza è un dato di fatto. La domanda rimane.
Nella creazione regna l’ordine o il caos?

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