Introduzione
Quando andavamo a scuola, sin dalle elementari, abbiamo imparato tre concetti fondamentali che da sempre diamo per assodati:
– la retta è un insieme infinito di punti
– per due punti passerà sempre una sola retta
– due rette che scorrono parallele tra loro (cioè che mantengono la stessa distanza tra loro) non potranno mai incontrarsi
Crescendo, come capita spesso, alcuni assiomi vanno a cozzare con la ragione e si formano quelli che apparentemente sembrano paradossi. Nel caso della retta parallela, esiste questa eccezione che porterebbe a riscrivere la legge in questa maniera: «Due rette che scorrono parallele tra loro non potranno mai incontrarsi se non all’infinito»
Significa che due rette parallele hanno la possibilità di incontrarsi, ma solo se si attribuisce loro dei valori infiniti. Com’è possibile che due linee poste sempre alla stessa distanza finiscano prima o poi per incontrarsi? In realtà, la questione è un po’ diversa e questo genere di discorsi lo possiamo fare solo in una branca particolare della geometria.
La spiegazione tramite formule geometriche
Entrando nel campo della matematica, se avete un minimo di conoscenza della geometria, la spiegazione risulta immediata. È sufficiente affrontare la cosa dalle formule di base dei piani cartesiani.
Se poniamo un sistema di coordinate con assi (x,y) , l’equazione di una retta è data da:
y = ax + b
dove “a” indica la pendenza della retta rispetto alle ascisse e “b” il punto di intersezione con le ordinate.
Due rette parallele hanno la stessa pendenza, quindi il valore di “a” sarà identico. Definiamo l’equazione delle due rette in questo modo:
y1 = ax + b1
y2 = ax + b2
Da qui si può notare facilmente che le due rette si incontrano nel punto
ax + b1 = ax + b2
b1 = b2
Ovviamente questo non è possibile, perché se b1 e b2 hanno lo stesso valore, significa che le due rette sono in realtà la stessa retta.
Ecco perché si afferma che “due rette paralelle non si incontrano mai”.
Questo però perde di validità quando si considerano i valori di “x” e “y” come non reali: in questo caso a “x” dobbiamo impostare un valore che tende a infinito. Impostando a “x” tale valore, i valori di “b1” e “b2” perdono importanza. Di conseguenza risulta che:
y1 = infinito
y2 = infinito
Giunti a questo punto, la soluzione è chiara: le due rette si incontrano solo e soltanto per valori di “x” e di “y” infiniti.
Geometria Euclidea e Non Euclidea
La parte teorica è un po’ più complicata da capire di quella pratica. Bisogna innanzitutto comprendere la distinzione tra geometria euclidea e geometria non euclidea.
Quando ci confrontiamo con i valori che conosciamo nell’uso comune, parliamo di una geometria di tipo “Euclidea“. È questo tipo di geometria che ci permette di formulare gli assiomi visti sopra (es: per due punti passa una sola retta). La geometria Euclidea si basa su 5 postulati. I primi quattro si possono verificare immediatamente con riga e compasso. Quello che, invece, lascia una certa dose di perplessità è il quinto postulato.
Ridotto all’osso dice che: «Se prendiamo una retta, per un punto può passare una sola retta parallela alla prima». Spiegato in termini un po’ più estesi dice:
1. prendiamo due linee rette
2. prendiamo una terza linea retta che incontri entrambe
3. se gli angoli interni che si formano tra la terza linea e ciascuna delle due precedenti è inferiore a 90° (quindi è leggermente “inclinato”), significa che le prime due rette sono destinate a incontrarsi
Sembra una proposizione semplice, ma in realtà i tentativi di dimostrarlo in modo matematico sono sempre falliti. Ecco perché hanno cercato di dimostrare questo postulato andando per assurdo, cioè dimostrando che esempi contrari a questa teoria non possono funzionare. Da lì è nata un tipo di geometria particolare, la “Non Euclidea“, che prende in esami casi “teorici” in cui almeno uno dei postulati di Euclide non è valido.
Senza entrare troppo nel tecnico, la geometria non-euclidea permette l’esistenza di rette ellittiche, che sono cioè incurvate verso l’interno. È chiaro che nella pratica qui non esistono rette parallele, perché essendo curve finiscono prima o poi per incontrarsi.
L’idea cozza terribilmente con la definizione di “rette parallele”, ma in matematica abbiamo anche casi simili, dovuti al fatto che la mente limitata dell’uomo deve confrontarsi con concetti come infinito. E che ci crediate o no, è alla base di alcune tra le teorie più importanti, come la famosa teoria della relatività postulata da Einstein.
la dimostrazione non mi convince: la retta è definita sui reali, quindi, se passo a limite, non sono più nel piano cartesiano dove ho disegnato la retta e mi sembra quindi assurdo parlare di rette che si incontrano all’infinito quando non esiste un punto d’incontro nel piano. I passaggi algebrici sono corretti ma il risvolto geometrico mi sembra incorretto.
Le geometrie non-euclidee sono “coerenti” (diciamo “esatte da un punto di vista geometrico”) anche se non hanno una rappresentazione fisica nello spazio.
Bisogna usare il pensiero laterale, perché una simile dimostrazione non può essere rappresentata su un grafico cartesiano. Se rimaniamo nei reali, infatti, la dimostrazione risulta senza sbocco: dobbiamo per forza assumere valori che tendono all’infinito per arrivare al risultato con la classica formula della retta.
Tra l’altro una teoria, quella di “geometria ellittica” formulata di Riemann, parla di una retta chiusa: prolungando la retta oltre certi limiti finirà per incontrare se stessa, per cui non ha senso parlare di rette infinite.
Sono naturalmente teorie che non hanno una funzione fisica nello spazio, a meno di non rivolgersi nel macro-universo, dove si trovano fenomeni singolari come i buchi neri.
Devi considerare lo spazio stereografico, quindi il piano, il risultato di questo. Pertanto le rette parallele si incontrano in due punti: + e – infinito.
Non ho capito perché scrivi che all’infinito non sei nel piano cartesiano!
Buona serata
Tino
Non so cos’è lo spazio stereografico, comunque a quanto mi ricordo il piano carestano è definito su R^2 e + e – indinito non ne fanno parte…
L’infinito potrebbe definirsi il luogo in cui tutto tende allo zero, od anche il punto in cui tutto coesiste e quindi ogni cosa si lega al suo contrario e si annulla. Quindi dire che le due parallele si incontrano all’infinito ovvero che non si incontrano significa fare la stessa affermazione; se le parallele si incontrassero cesserebbero di essere parallele; se non si incontrassero vorrebbe dire che è errato il punto di osservazione e cioè che le parallele non hanno ancora raggiunto l’infinito.
“Due rette parallele si incontrano solo all’infinito…
quando, ormai, non gliene frega più niente”… ha ha ha ha!
(Anche Le formiche nel loro piccolo si incazzano) come le nostre vite.
Abbasso la matematica,viva l’umorismo.
Due rette parallele si incontrano quanto è vero che la vita e la morte sono la stessa cosa. Sta a te scegliere cosa credere…
Non e’ una questione di credere e’ solo capire quello che e’ stato detto nell’articolo dall’autore….
Si incontrano nel big bang
cit.:
“Tra l’altro una teoria, quella di “geometria ellittica” formulata di Riemann, parla di una retta chiusa: prolungando la retta oltre certi limiti finirà per incontrare se stessa, per cui non ha senso parlare di rette infinite.
Sono naturalmente teorie che non hanno una funzione fisica nello spazio, a meno di non rivolgersi nel macro-universo, dove si trovano fenomeni singolari come i buchi neri.”
Buonasera. Non serve scomodare i buchi neri. Anche il nostro pianeta rivoluziona attorno al sole percorrendo una traiettoria rettilinea geometricamente distorta (NON EUCLIDEA).
Ovvero: la Terra dal canto suo, rivoluzionando intorno al Sole, “crede” di andare dritta in quanto segue il normale andamento della Struttura ST geometricamente distorto (a causa della presenza di un corpo massivo -il Sole-) che, come una sorta di strada/binario, conduce il pianeta stesso.
Se ad esempio spingessimo una pallina legata con un filo ad un palo, su di essa ovviamente agirà una forza centrifuga (apparente) in quanto la forza centripeta (il filo) fa violare alla pallina stessa il peculiare movimento (moto) rettilineo dei corpi (unif. o acc. non importa). Per la Terra che rivoluziona intorno al Sole il discorso è diverso in quanto essa di fatto non viola alcun peculiare movimento rettilineo, in quanto è proprio la struttura ST stessa ad essere “curvilinea” (geometricamente distorta/non Euclidea) attorno al Sole.
Se lanciassimo una pallina dal punto A al punto B, essa raggiungerà il punto B percorrendo ovviamente una traiettoria rettilinea, in quanto nello spazio tra A e B sarà valida la geometria Euclidea; se invece lo spazio tra A e B fosse “distorto” come lo spazio attorno al Sole (corpo massivo), la pallina percorrerebbe una traiettoria rettilinea “geometricamente distorta” (evidentemente curvilinea/circolare) che la riporterebbe al punto di partenza (B si troverebbe alle spalle di A).
L’articolo è ben fatto. Se non si comprende non vuol dire che esso sia sbagliato.
Ciao a tutti
Aggiungo:
Fortunati noi che la geometria euclidea nella meccanica dell’universo non sia valida, altrimenti vagheremmo nello spazio in moto rettilineo uniforme senza metà, senza una stella madre e senza traguardo, così come tutti gli corpi celesti presenti nell’universo, stelle comprese.
Nell’universo vige per grazia ricevuta la geometria NON Euclidea.
Di nuovo ciao a tutti